Cheat Sheet

Mistakes#

True of False#

If a queue is implemented by a circularly linked list, then the insertion and deletion opetations can be performed with one pointer rear insetad of rear and front T

Cheat Sheet#

Tricky points#

树的类型
- full
- complete
- perfect
- balanced

在二叉树中，有几个常见的类型需要区分：完全二叉树（complete binary tree）、满二叉树（full binary tree）、完美二叉树（perfect binary tree）和平衡二叉树（balanced binary tree）。下面是每种类型的详细解释：

不同的二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）：
定义：完全二叉树是一棵二叉树，其中所有层（除了可能的最后一层）都是满的，且所有节点尽可能地靠左排列。
特点：在完全二叉树中，每一层的节点都是从左到右填满的，但最后一层的节点不一定填满。

例子：

满二叉树（Full Binary Tree）：
定义：满二叉树是一棵二叉树，其中每个节点要么有两个子节点，要么没有子节点。
特点：每个节点要么是叶子节点，要么有两个子节点。

例子：

      1
    /   \
   2     3
  / \   / \
 4   5 6   7

完美二叉树（Perfect Binary Tree）：
定义：完美二叉树是一棵二叉树，其中所有内节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。
特点：完美二叉树既是满二叉树又是完全二叉树。它的所有叶子节点在同一层，并且所有内节点都有两个子节点。

例子：

      1
    /   \
   2     3
  / \   / \
 4   5 6   7

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：
定义：平衡二叉树是一棵二叉树，其中任何节点的两个子树的高度差不超过 1。
特点：为了保证查询操作的效率，树的高度尽量保持在最低水平。常见的平衡二叉树有 AVL 树和红黑树。

例子：

      3
    /   \
   2     4
  /       \
 1         5

总结#

完全二叉树：从左到右逐层填满，可能最后一层不完全。
满二叉树：每个节点要么有两个子节点，要么没有子节点。
完美二叉树：所有内节点都有两个子节点，所有叶子节点在同一层。
平衡二叉树：任何节点的两个子树高度差不超过 1。

Ch.02 Algorithm Analysis #

\(T(N)=O(f(N))\) 上界，小于等于
\(T(N)=\Omega(g(N))\) 下界，大于等于
\(T(N)=\Theta(h(N))\) 确界，表示上下界同阶
\(T(N)=o(p(N))\) 严格渐进上界，严格小于

Ch.03 List #

ADT 的概念
Sequential List
- Imp
  - Array
  - Linked List
  - Cursor Imp
- App
  - 多项式表示
  - Multilists 矩阵稀疏表示
Stack ADT
- 链表实现、数组实现、dummy head node
- 应用
  - Balancing Symbols 符号检查
  - Postfix Evaluation 逆波兰表达式求值
  - Infix to Postfix Conversion 优先级>=当前元素，出栈，注意括号
Queue ADT*
- 循环队列实现
- rear 和 front 差 2 是满，差 1 是空
- 最大容量是 n-1
- Enqueue 在 ++rear 放入元素
- Dequeue 在 fornt++ 删除元素
- 需要执行满/空检查

Ch.04 Trees #

Preliminaries
- Degree
- parent, children sibilings, leaf
- Path 只能是从上往下的
- Depth, height(The length of the longest path from this node to a leaf) 深度就是往根找的长度，高度就是作为根往叶子找的长度
- ancestors, descendants
Imp
- 可以用线性表表示 因为内存就是线性的，没有什么数据结构不能线性表示
- FirstChild-NextSibiling 表示，所有的树都能等价为 binary tree，但是 unordered tree 表达可能不唯一
  - preorder 还是 preorder，但是 postorder 变成了 inorder
Binary Tree
- App
  - Expression Tree (syntax trees)
- Traversals
  - preorder postorder inorder levelorder (需要队列)
    - iter_inorder 使用一个栈完成非递归遍历
  - expression tree 不同的遍历方式就能得到不同的表达式
  - print directory 使用 preorder，因为先打印父目录
  - 计算文件夹大小，使用 postorder，因为要向父节点返回值
- 线索二叉树（几乎不考） 如果 left 为空，换成中序遍历的前驱，如果 right 为空，换成中序遍历的后继，只是方便查找而已
- 其他二叉树
  - 斜树 skewed binary tree，退化成线性结构
  - 完全 complete binary tree 除了最后一层，全部填满 很像堆
- properties
  - 叶子节点数比二度节点数多 1 \(n_0=n_2+1\)
The Search Tree ADT
- Imp
  - find 尾递归优化为循环的例子
  - insert 的递归操作需要返回
  - Delete
    - 如果是二度节点，替换为左子树最大或右子树最小，对被换过来的节点递归进行 delete
    - lazy deletion
- \(height(bst)\in[h-1,\lceil\log_2(n+1)\rceil-1]\)

Ch.05 Priority Queues (Heaps)#

sentinel value 是不可能出现的最小/最大值
insert 放到末尾，PercolateUp
DeleteMin 末尾放到开头，PercolateDown
DecreaseKey 直接 PercolateUp
IncreaseKey 直接 PercolateDown
Delete 删除某个位置的元素： DecreaseKey \infty 然后进行 DeleteMin
BuildHeap 直接放，然后堆每个父节点 PercolateDown
- 也称为 Linear Algorithm \(T(N)=O(N)\)

Ch.06 Sorting #

Insertion Sort 插入排序 stable
- best case \(O(N)\)
Lower bound for simple sorting algorithm: Any sorting algirithm that sorts by exchanging adjacent elements requires \(\Omega(N^2)\) on average
Shellsort 希尔排序 Shellsort is unstable
- Naive Shellsort: h 每次除 2
  - worst case \(\Theta(N^2)\)
- Hibbard's increments
  - worst case \(\Theta(N^{3/2})\)
  - conjucture: avg \(O(N^{5/4})\)
- Sedgewick's best sequence
  - conjucture: avg \(O(N^{7/6})\), worst \(O(N^{4/3})\)
Heapsort 堆排序 unstable
- 平均比较次数 \(2N\log N-O(N \log \log N)\)
- 使用不经济，常数比较大
Mergesort 归并排序 Mergesort is stable
- 递归外部定义 TmpArray
  - 如果内部定义 \(S=O(N\log N)\)
  - 如果外部定义 \(S=O(N)\)
- 进行划分
- 每一次归并，从 A 读取，放到 TmpArray 中，然后再复写到 A
Quicksort 快速排序 unstable
- 复杂度
  - Time: best/average case \(O(N\log N)\) worst case \(O(N^2)\)
  - Space: best \(O(\log N)\) worst \(O(N)\)
- Strategy
  - pivot 使用 Medium3 来获取
  - 在 partition 中，如果 key == pivot 都停下俩进行 swap，这样能够保证 partition 大小相近，时间还是 \(O(N\log N)\)
- Quicksort is slower than insertion sort for small \(N\le 20\)
Table Sort
- 创建 pointer 来处理大型结构，pointer 就是 key，然后堆
- Every permutation is made up of disjoint cycles
- worst case, \(\lfloor N/2\rfloor\) cycles and \(\lfloor 3N/2\rfloor\) record moves
- \(T=O(mN)\) where \(m\) is the size of the structure
A general lower bound for sorting based on comparisons \(O(N\log N)\)
Bucket Sort stable
- 设计所有可能的 slot，直接放入
Radix Sort stable
- 进行多轮排序，每次排一个数位，Least Significant Digit First
- \(T=O(P(N+B))\)
  - \(P\) 是 number of passes，也就是位数
  - \(B\) 是 number of buckets
- MSD Approach: Parallel sort
- LSD Approach: serial sort

Ch.07 Hashing #

Identifier density \(n/T\)
loading density \(n/(sb)\)
collision: \(f(key_1)=f(key_2),\,key_1\ne key_2\)
\(f(x)=(\sum x[N-i-1]*32^i)\%TableSize\)
Separate Chaining: 头插法
Open Addressing \(index=(hash(key) + f(i)) \% TableSize\) 注意只有 i 在增加
- Linear Probing
- Quadratic Probing
  - If quadratic probing is used, and the table size is prime, then a new element can always be inserted if the table is at least half empty.
    表的大小为质数，那么如果表至少半空的话，一定可以插入
  - 如果是质数而且可以写成 \(4 k+3\)，且采用 \(f(i)=\pm i^2\)，那么只要有空位就行
- Double Hashing \(f(i)=i*hash_2(x)\) 第二个哈希函数

Ch.08 Disjoint Set #

Basic worst case \(\Theta(N^2)\), skewed tree, where 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4, ...
Smart Union Algorithm 都叫做 Union-by-rank
- Union-by-size 搭配 Path-Compression
- Union-by-height
\(\alpha\) 反 Ackermann 函数，几乎等于常数
如果有 \(M\) 个 find，\(N-1\) 个 unions，\(T=O(M\alpha(M,N))\)

Ch.09 Graph Algorithms #

Definitions
- complete
- path
  - simple path
  - cycle
- connected graph / component
- tree 连通无环图
- DAG: 有向无环图
- Strongly/Weekly connected
Representation
- adj_mat
- adj_lists
- adj_multilists，每一个节点是一条边，存着起点和终点以及 mark，两个出指针指向各自 vertex 连接的下一条边
Topological Sort 拓扑排序
- 使用一个队列
- \(T=O(|V|+|E|)\)
  - 因为要遍历所有边，统计入度
  - 也要遍历所有点，进行删除
Shortest Path Algorithms Dijkstra Algorithm
- unweighted: 使用一个 queue 来记录“探索外延”的 vertex
- weighted Dijkstra
  - 每次都遍历，better if graph is dense
    - \(T=O(|E|\log |V|)\)
  - 建立 MinHeap，better if graph is sparse
    - \(T=O(|E|\log|V|)\)
    - 但是需要额外的 \(S=O(|E|)\)，以及需要执行 deleteMin
- graph with negative costs: 可能存在解，可能死循环
AOE Networks
- EC: earliest completion 从头到尾取最大
- LC: lastest completion 从尾到头取最小
- Critical Path: 没有松弛时间的路径
Network Flow Problems 网络流问题
- Flow Network \(G_f\)
- Residual Network \(G_r\)
- 每一次，在 \(G_r\) 中找到一条通路，那么更新这条通路上瓶颈处的流量到 \(G_f\)，并且在 \(G_r\) 中更新剩余流量和反向流量
- analysis
  - \(T=O(f*|E|)\)
Minimum Spanning Tree 最小生成树
- Prim 从一个节点开始，收集边
  - \(O(|V|^2)\) 或者使用了更高级的图表示的话 \(O(|E|\log|V|)\) or \(O(|V|\log|E|)\) 适合 Dense Graph
- Kruskal 从森林开始，找最小的边将它们连接起来
  - \(T=O(|E|\log|E|)\) 适合在 Sparse Graph
DFS Use DFS to obtain a apanning tree of G
- Biconnectivily 不存在割点的图
- 求解 biconnected components
  1. 使用 DFS 获得一个 spanning tree
    1. 其中有 DFS 编号，也就是 \(Num(v_i)\)
    2. 其中存在 back edge，也就是树里没有但是图里有的边
  2. 找到所有的割点
    1. 什么是割点
      1. root，至少有两个孩子
      2. 其他点，至少有一个孩子，而且不能通过后代的 back edge 回到祖先
    2. \(Low(u)\) 自己的 Num，孩子的 Low，back edge 另一边的 Num 的总最小值
  3. 得出结果
    1. 如果是 root，那么至少两个孩子
    2. 或者如果是其他点，至少有一个孩子的 Low 比自己的 Num 大就好
- Euler Circuits \(T=O(|E|+|V|)\)

历年卷#

15-16 秋冬期末模拟二叉树检查#

binary search tree 要求每一个根节点大于左子树最大的，小于右子树最小的
使用递归，同时进行判断和深度计算 cbst(BinTree T, int height, int max, int min)
使用全局变量 int in_seq[1000] = {0}, top = -1, mheight = 0, valid = 1;
使用 stdlib.h 中的 qsort，可以很方便找到 K 小的元素

qsort 使用示例

int cmp(const void *a, const void *b){
    return *(int*)a - *(int*)b;
}

int main(void)
{
    int seq[1000];
    for(int i = 0; i < 1000; i++) seq[i] = rand();
    qsort(seq, 1000, sizeof(int), cmp);
    for(int i = 0; i < 1000; i++) printf("%d\n", seq[i]);
    return 0;
}

int cmp(const void* a, const void* b)
{
    return *(int*)a - *(int*)b;
}

qsort(thisSeq, 1000, sizeof(int), cmp);

16-17 秋冬期末模拟最小共同祖先问题#

先确定最小祖先，只需要找到第一个分叉点即可，也就是与子树根节点比较发现一个大一个小，或者出现一个等于的时候
然后验证合理性，从这个公共顶点开始搜两个值，如果都搜到了，说明有效，返回公共祖先的 key；如果有一个没搜到，都返回 ERROR

19-20 秋冬期末模拟 Complete Binary Search Tree#

建立一个 BST
判断是否 Complete
给出 preorder traversal sequence

思路

首先，如何表示树的结构？
- 使用数组进行表示，根的下标取 0
- 注意将数组初始化成 -1 表示未占用
然后，进行 insert 递归操作

Cheat Sheet

Mistakes#

True of False#

Cheat Sheet#

Tricky points#

总结#

历年卷#

15-16 秋冬期末模拟 二叉树检查#

16-17 秋冬期末模拟 最小共同祖先问题#

19-20 秋冬期末模拟 Complete Binary Search Tree#

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15-16 秋冬期末模拟二叉树检查#

16-17 秋冬期末模拟最小共同祖先问题#